Знакомство школьников с понятием теорема

Задания для размышления и контроля

знакомство школьников с понятием теорема

определение понятия «теорема»; структуры формулировки теорем, приведите примеры теорем школьного курса математики разных структур. способа знакомства учащихся с фактом, описанном в теореме;. Обзор действующих школьных учебников и учебных пособий по алгебре и обратной теоремы Фалеса, теореме об угле между касательной и хордой, Этапы знакомства с понятием функции по годам обучения. В начальной стадии знакомства с понятием функции можно говорить о соответствии Основной набор школьных функций - числовые. Один из на применение ранее изученных понятий и теорем? практического характера?.

Следующий этап - усвоение доказательства. Работа по усвоению доказательства теоремы должна осуществляться аналитически, так как "для усвоения смысла доказательства. Для лучшего уяснения доказательства, пишет В.

Чичигин, важное значение имеют правильная постановка проблемы, раскрытие идеи доказательства и предупреждение возникновения ошибок см. Пойа в книге 3. Процесс решения задачи он подразделяет на четыре этапа, составляющие четыре части "таблица Пойа" понимание постановки задачи; составления плана решений; осуществление плана; изучения полученного решения.

В каждой части таблицы ставится ряд вопросов, возникающих в процессе решения задачи. Ответы на эти вопросы содержатся в книге в виде "краткого эвристического словаря", который составляет основное содержание книги. Василевский в книге 3. Колягин процесс решения задачи разбивает на четыре этапа: При обучении доказательству, считает И. Тесленко, важно обеспечить правильный переход от "единичного" или "отдельного" рисунок, модель фигуры и. Раскрытие при доказательствах связей между "отдельным" и "общим" содействует осуществлению процесса обобщения, то есть осуществлению "обогащения понятия признаками, свойствами, определениями" 3.

Существенная роль при этом принадлежит раскрытию структурных особенностей понятий, обучению правильному пользованию простыми умозаключениями, раскрытию структуры геометрических утверждений.

Автор разработал конкретные методические приемы работы - 13 учителя по обучению доказательствам: I решение подготовительных упражнений, имеющих задачей постепенный охват круга вопросов, возникающих при доказательстве некоторой теоремы или группы теорем; 2 постановка проблемных ситуаций; 3 ознакомление учащихся с алгоритмами определения понятий и доказательства теорем, то есть "с тем, в какой последовательности выполнять логические операции, из которых состоит доказательство теоремы, чтобы вывод теоремы стал очевидным" 3.

Для воспитания у учащихся потребности в доказательстве введение теоремы полезно начинать с задач практического характера. Однако " в некоторых случаях целесообразно до введения теоремы ставить перед учащимися и задачи абстрактного характера, решение которых может привести их к самостоятельному установлению нужной теоремы". Введение теорем, поиски доказательств нужно строить так, чтобы "учащиеся сами обнаруживали это доказательство, "открывая" его вслед за "открытием" теоремы".

Отдельным вопросом рассматривается пропедевтика обучения учащихся доказательству утверждений. Обучение пониманию структуры доказательств, по мнению авторов, следует осуществлять путем решения упражнений, раскрывающих структуру доказательств и связи между суждениями в процессе доказательства утверждений. Среди важных средств укрупнения единиц усвоения геометрических знаний при доказательствах выделяются: Столяр формулирует такие требования, необходимые при обучении учащихся доказательствам: I школьный курс геометрии ни на одном этапе обучения не строится как формальная дедуктивная система и всегда остается в рамках содержательной модели; 2 в школьных доказательствах теорем неизбежны интуитивные элементы; 3 понимание потребности в логическом доказательстве лучше достигается на неочевидных примерах.

В обучении доказательствам выделяются два уровня: I - кл. На этом уровне ученикам становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры и используемых в. Метельский отмечает, что "знакомство школьников с различными методами доказательства.

Достижению этой цели способствует знание и применение определенных правил доказательства. Артемов в работе 3. Выделены правила доказательства некоторых груш теорем.

Конечная цель работы состоит в том, "чтобы научить школьников самостоятельному использованию такого правила, то есть сформировать у них обобщенный прием работы".

Однако в работе рассмотрены только "похожие" теоремы в рамках одного параграфа или раздела. Специальные пособия для учителей по данной проблеме, в основном, разработаны по программам, действовавшим до г. Притуло в книге 3. Методика обучения доказательству, по его мнению, должна состоять из четырех частей: Автор впервые поднимает вопрос о воспитании у учащихся потребности в доказательстве как специальную проблему методики.

Пути решения этой проблемы также предложены: Содержание этих приемов различно использование оптических иллюзий, подбор задач на доказательство, таких, где невозможны точные измерения и. Однако приемы, основанные на принципе "посеять сомнение", кроме достоинств имеют и существенные недостатки, так как у учащихся складывается отрицательное отношение к интуиции, роль которой в математике неоспорима; возникает недоверие к результатам опыта, на который приходится опираться при изучении математики в 8-летней школе.

Кроме того, реализовать данные приемы не для каждой теоремы. Всякий раз необходимо исходить из "индивидуальных особенностей каждой теоремы, из учета конкретных условий, позволяющих обосновать сомнения, сделать их законными в глазах учащихся" 3.

Аналогичные приемы воспитания у учащихся потребности в доказательстве рекомендует Н. Рассматривая задачи на доказательство, наряду с другими видами задач, Ф. Семенович в работе 3. Сущность подхода, предложенного А. Кузьминой, заключается в составлении специальных упражнений, подготавливающих учащихся У1 класса к восприятию наиболее трудных теорем курса 3.

Данилова считает, что в начале обучения доказательствам целесообразно использовать индуктивный метод. В связи с этим в урок геометрии должен быть внесен творческий элемент" 3.

Вы точно человек?

В ее работах приведены общие методы обучения отысканию путей доказательства, сделана попытка систематизировать имеющиеся правила и указания для учащихся. Фирсов, говоря о методических особенностях обучения доказательству учащихся по учебному пособию 3. Погорелова, указывают, что доказательства в книге ради логической его строгости и полноты приведены со всеми необходимыми аргументами. Поэтому оно выглядит громоздким и вряд ли окажется понятным учащимся: Но это иготовоб доказательство, воспроизведением которого должно заканчиваться изучение геометрии.

Изучение теорем в школьном курсе математики

На уроке же рекомендуется поступить так: Наконец, в третьем проходе доказательство воспроизводится полностью в том виде, как оно приведено в учебнике 3. Аксиомы подаются как хорошо известные учащимся свойства геометрических фигур". Доказательства первых теорем приводятся в иллюстративном плане. Предполагается, что в начале учащиеся будут осваивать непривычные для них схемы рассуждений и словесные конструкции, действия по образцу, то есть повторять сказанное написанное на доске учителем и воспроизводить текст учебника; на дом следует давать задачи, аналогичные решенным на уроке см.

Из приведенного обзора литературы следует, что доказательство занимает важное место в школьном математическом образовании, а проблема обучения учащихся доказательству широко освещена в методической литературе.

знакомство школьников с понятием теорема

Однако эта проблема применительно к курсу геометрии в восьмилетней школе, где закладывается фундамент обучения доказательству, не получила до сих пор удовлетворительного, пригодного для широкой практики обучения, решения. Многие же из тех решений, которые предлагались, не реализованы в практике обучения, в частности потому, что они не были достаточно конкретизированы или же, наоборот, некоторые решения были жестко привязаны к определенному школьному учебнику, в результате чего появление нового учебника вновь порождало эту проблему.

Следует также отметить, что в литературе встречаются лишь упоминания о необходимости формирования у учащихся 1У-У1 классов потребности в обосновании истинности утверждений или отдельные примеры, однако исследование не доведено до описания системы такой работы. Таким образом, проблема обучения учащихся доказательствам теорем в курсе геометрии восьмилетней школы является актуальной. Проблемой нашего исследования и является обучение учащихся доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы. Предметом исследования являются структуры доказательств теорем школьного курса геометрии У1-УШ классов и умение доказывать.

Объектом исследования является обучение учащихся геометрии в У1-УШ классах. Цель исследования - определение реальных возможностей совершенствования обучения учащихся доказательству в курсе геометрии У1-УШ классов и разработка методики их реализации. Гипотеза данного исследования заключается в том, что с помощью разработанной методики и средств обучения можно совершенствовать умения учащихся проводить доказательства геометрических утверждений.

В соответствии с целью и проблемой исследования были поставлены следующие задачи: При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования: Научная новизна исследования заключается в следующем: Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная система упражнений может непосредственно использоваться в практике обучения.

Кроме того, по описанной в диссертации методике учителя могут сами составлять подобные упражнения. Разработанные методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.

По существу диссертационного исследования автор выступал на: Разработанная автором методика обучения доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы внедрена в школах города Андижана, Андижанской и Наманганской областей Узбекской ССР.

Цель подготовительного этапа, место которого - курс математики 1У-У классов, заключается в формировании у учащихся потребности аргументировать утверждения и в обучении их проведению простейших умозаключений. Эта цель достигается через систему специальных упражнений, при составлении которых учитывается, что, выполняя их, учащиеся должны не только обучаться умению доказывать, но и усваивать материал, предусмотренный программой.

Цель ознакомляющего этапа, который связан с изучением геометрии в У1 классе, состоит в продолжении работы по воспитанию потребности в аргументации, в обучении построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, в демонстрации процесса доказательства в действии.

Знакомство с процессом дока - зательства производится через вскрытие логических форм, используемых в доказательствах учебника неявно. Цель обучающего этапа, связанного с курсом геометрии УП-УШ классов, заключается в обучении учащихся самостоятельному проведению дедуктивных рассуждений. Достижение этой цели осуществляется посредством решения системы упражнений на доказательство, которая строится в соответствии с развитием курса геометрии и путем увеличения сложности доказательств по таким параметрам: Доказательства в учебниках геометрии даются в сжатой форме, при этом, хотя в них и имеются ссылки на аксиомы, теоремы, определения, логическая структура этих ссылок остается за пределами доказательства.

Использование "свернутых" доказательств позволяет ярче показать идею доказательства. С целью ознакомления учащихся с логической структурой доказательства полезно уже известное доказательство представить в логически развернутой форме, четко указывая посылки, заключение и аргументацию каждого шага. Логический анализ доказательства позволяет учителю выявить наиболее трудные для учащихся места, найти методические средства для преодоления этих трудностей.

Логически развернутое доказательство - лучшее средство для выработки навыков последовательного и обоснованного рассуждения, при таком доказательстве нет места механическому заучиванию. Большие затраты времени, требующиеся для проведения таких доказательств, конпенсируются лучшим пониманием и усвоением материала. При обучению доказательству в нашей методике используется система специальных упражнений.

На подготовительном этапе, отра - батывая с учащимися простейшие схемы рассуждений, мы использовали, в основном, упражнения из учебников математики для 1У-У классов, в которых для обоснования ответа требуется применение определения того или иного объекта либо свойства объекта.

Выполняя такие упражнения, учащиеся на содержательном уровне осваивают схемы рассуждений по ууиосЬил ponens ив то же время происходит усвоение математических понятий и фактов. На этом этапе учащиеся знакомятся также с рассуждениями, построенными по правилу силлогизма.

При построении упражнений, предназначенных для формирования у учащихся потребности в обосновании утверждения, использовался конкретный материал учебников математики 1У-У классов, причем упражнения строились так, чтобы имелась принципиальная возможность получения ответа непосредственным применением известных учащимся алгоритмов, но это получение было сопряжено с большими трудностями технического характера, рассуждением же решение находилось почти.

Использовались и некоторые другие возможности. На ознакомляющем и обучающем этапах наряду с упражнениями указанных типов использовались также упражнения на построение умозаключений по другим схемам, упражнения на построение цепочек умозаключений, решались также геометрические задачи на доказательство и вычисления.

Экспериментальное исследование эффективности разработанной нами методики показало, что она обеспечивает достижение поставленной цели - более эффективное развитие у учащихся умения доказывать. Кроме того, часто встречаются предложения-предикаты. Эти предложения являются компонентами умозаключений, выступая в них либо в качестве посылок, либо в качестве заключения. Сами же умозаключения строятся по определенным правилам. Процесс доказательства состоит в последовательном применении этих правил.

Для осознанного усвоения доказательства необходимо понимание как логических структур предложений-посылок или заключений-умозаключений, так и структур самих умозаключений. Кроме того, требуется еще определенная готовность воспринимать доказательство, ощущение его потребности.

Наше исследование решает проблему обучения учащихся восьмилетней школы доказательству в аспекте формирования у учащихся готовность воспринимать доказательство и в аспекте обучения их проведению умозаключений, цепочек умозаключений, ведущих к це - ли, то есть к установлению истинности рассматриваемого утверждения.

Анализ умозаключений, используемых в доказательствах из школьных учебников геометрии, показал, что наиболее часто используются умозаключения, построенные по правилам отделения, отрицания, силлогизма, полисиллогизма, контрапозиции, удаления конъюнкции, введения конъюнкции, введения дизъюнкции, удаления дизъюнкции, приведения к абсурду, часто применяется теорема дедукции. В имеющихся учебниках по геометрии понятие доказательства почти не разъясняется, с его содержанием учащиеся знакомятся только на примерах см.

При построении учебника геометрии изучаемые теоремы не всегда удается расположить в последовательности постепенного нарастания сложности их доказательств: Но если нельзя или трудно изменить порядок расположения теорем курса геометрии, то расположение упражнений не является жестким.

Поэтому через систему упражнений возможно обучение учащихся умению доказывать. Для овладения этим умением учащиеся должны научиться строить определенного типа умозаключения, цепочки таких умозаключений, научиться отыскивать те предложения аксиомы, определения, ранее доказанные теоремыкоторые можно применить при доказательстве рассматриваемой теоремы.

знакомство школьников с понятием теорема

Разработанная нами методика формирования умения доказывать исходит из того, что это формирование не единовременный акт, а длительный процесс. В этом процессе нами выделены см. Подготовительный этап связан с обучением математике в 1У-У классах. На этом этапе преследуются две цели: Эти цели достигаются посредством выполнения специальных упражнений.

Ознакомляющий этап, место которого - курс геометрии У1 класса, имеет своими целями продолжение формирования потребности в аргументации, обучение построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, коротких цепочек умозаключений, демонстрация процесса доказательства в действии.

Знакомство учащихся с процессом доказательства происходит посредством обнаружения форм умозаключений, используемых в доказательствах учебника геометрии неявно. Обнаружение форм умозаключений происходит через логическое расчленение доказательства. Обучающий этап связан с курсом геометрии УП-УШ классов. Цель этого этапа состоит в обучении самостоятельному проведению доказательств.

Достижение целей обучающего этапа осуществляется через решение системы упражнений на доказательство. Эта система строится в соответствии с развитием курса геометрии и по линии увеличения числа требуемых в доказательстве умозаключений, сложности. При построении также учитывалось разнообразие возможных при данных посылках правильных цепочек умозаключений, причем не все цепочки дают доказательство данного утверждения.

Чем больше таких цепочек, тем сложнее найти нужную. При построении системы упражнений вначале даются упражнения с меньшим разнообразием возможных цепочек с меньшей неопределенностьюв дальнейшем эта неопределенность увеличивается. Система специальных упражнений - основное средство обучения учащихся доказательству по предлагаемой нами методике см. Упражнения из этой системы в зависимости от той цели, которая преследуется при его выполнении, разбивается на несколько подсистем: Экспериментальная проверка эффективности предлагаемой нами методики формирования умения доказывать показала, что она может обеспечить высокую степень сформированности у учащихся данного умения, а это, в свою очередь, ведет к повышению качества усвоения учащимися курса геометрии.

Произведения основоположников марксизма-ленинизма 2. Маркс К, Энгельс Ф. О воспитании и образовании. Черненко на апрельском г. Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы. О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду: О преподавании логики и психологии в средней школе. Поихолого-педагогическая и математическая литература Актуальные вопросы методики преподавания математики: Проблемы обобщения геометрических знаний учащихся восьмилетней школы.

Развитие логического мышления учащихся и решение задач на доказательство в У1-УП классах. Элементы логики в курсе математики средней школы. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Ученые записки Пензенского гос. Как оптимизировать процесс обучения. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. Сборник геометрических задач на доказательство.

Психология усвоения- знаний в школе. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. Использование логической символики при работе с определениями.

Формирование понятия функции в средней школе

Воспитание логических навыков при изучении математики. Методика преподавания математики в средней школе. Формирование умений осуществлять поиск геометрических доказательств. Преподавание алгебры и геометрии в школе.

Колмогорова о том, что определение вектора как направленного отрезка математически некорректно не нашло отражения в школьных учебниках, включая ныне действующие. На наш взгляд причина этого в том, что не удалось сформулировать одновременно и математически корректное, и доступное ученикам определение понятия 1 вектора.

Нельзя не согласить с точкой зрения В. При этом два вектора считаются равными, если имеют одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственных, но различных понятия: Полагаем, что имеет смысл прислушаться к мнению В.

Рыжика, который считает, что на вопрос о том, как преодолеть возникающие трудности, должны дать ответ методисты. Как возможный вариант решения он предлагает поступиться логической безупречностью при начальном введении понятия, если только это не приводит к прямым ошибкам.

Именно по этому пути мы пошли во второй главе исследования, отказавшись от строгого определения понятия вектора. В действующих учебниках определение вектора практически одинаково. Установлено, что такие свойства векторов как свойства суммы векторов, I произведения вектора на число и. Например, очень сложно объяснить ученикам, почему при доказательстве переместительного закона сложения векторов требуется рассматривать коллинеарные и неколлинеарные векторы, а в случае сочетательного закона при доказательстве, которого используются не коллинеарные векторы, не требуется рассматривать еще какие-либо случаи.

Как подчеркивает профессор В. Гусев, на сегодняшний день все учебники излагают уже готовые мысли, часто совершенно непонятно откуда взявшиеся, и без достаточных ссылок на те положения, из которых эти мысли получены. Это приводит к неприятию массовым учеником соответствующих текстов.

Конечно, учитель старается преодолевать эти трудности, опытный квалифицированный учитель переписывает многие доказательства, ищет пути обучения учащихся рассуждать и доказывать. Вместе с тем, если бы этих трудностей не было, учитель мог бы свою деятельность направлять по более эффективному пути. Во второй главе исследования показано, как можно устранить те устойчивые недостатки, которые были выявлены в первой главе. Показано, что в настоящее время разработана эффективная теория усвоения - деятельностный подход Л.

Само оперирование, в соответствии с теорией, необходимо организовать так, чтобы каждый шаг в выполнении первых заданий можно было проконтролировать.

Прежде чем учащиеся перейдут к полностью самостоятельному оперированию с новыми знаниями необходимо обеспечить оперирование в речевой форме. В исследовании это обеспечивается при помощи заданий рабочей тетради. Во втором параграфе показано, каким образом можно ввести понятие вектора так, чтобы оно было математически корректным и, вместе с тем, доступным ученикам. Учитывая, что не только ученики, но преподаватели нередко осознают вектор как состоящую из точек фигуру, мы определили направленный отрезок как упорядоченную пару точек.

Подчеркивая этим, что направленному отрезку, а в последствии и вектору, принадлежать лишь две точки, одна - начало направленного отрезка, а другая - конец. В этом же параграфе формируется понятие направления направления луча, начинающегося в первой точке пары и проходящего через вторую точку и длины расстояния между точками пары направленного отрезка.

Изображением направленного отрезка является традиционный отрезок со стрелкой, но это лишь изображение, помогающее указать какая из точек пары первая, а какая - вторая. Далее, как и при традиционном обучении, вводится понятие равных направленных отрезков. Определение понятия вектора не дается, вместо этого дается описание, смысл которого в следующем: С неразличимостью различных по внешнему виду объектов учащиеся к этому времени уже знакомы.

Например, такие различные по виду записи как 2; 2,00; 4л являются представлением одного и того же числа, изображаемого единственной точкой числовой прямой. Тем самым мы фактически вводим вектор как класс равных направленных отрезков, но понятие класса не формируется, да и само слово класс не употребляется.

Например, это сходство позволило сделать так, что разность векторов а - Ъ понимается учащимися как сумма вектора а и вектора противоположного вектору Ь: При введении таких свойств вектора как: Тем самым учащиеся были поставлены в ситуацию, когда если какое либо свойство векторов забыто они могут вспомнить свойство произведения чисел, а, следовательно, и соответствующее свойство векторов. Например, определение произведения вектора на число структурировано следующим образом: Произведением числа к на вектор а является вектор ка.

Во-вторых, с каждой формулировкой организовано адекватное оперирование с помощью специальных заданий, в том числе помещенных в рабочую тетрадь.

Для удобства чтения все пропуски заполнены подчеркнутым курсивом.

знакомство школьников с понятием теорема

Используя, формулировку определения произведения вектора на число запишите, что означает запись Это, прежде всего элементы мультимедийного обеспечения Действительно, одним из важных условий полноценности усвоения, в соответствии с рекомендациями психологов, является предоставление в распоряжение учеников кратких схематических записей основного содержания подлежащего усвоению материала.

Тем самым создаются предпосылки для успешной ориентировки в новом материале и способах работы с. При этом с помощью мультимедиа обеспечения может быть организовано повторение, стимулирующее учеников к изучению нового материала. Например, знакомство со свойствами вектора при умножении вектора на число может быть организовано так: Может ли оно быть применено и к векторам? Таким образом учащиеся могут самостоятельно прийти к тому факту, что в данном случае существует два распределительных закона: Элементы мультимедийного обеспечения позволяют сформулировать и обсудить гипотезу.

Приведем фрагмент этого задания распределительное свойство. Запишите, какими свойствами обладает произведение чисел, и укажите, какими из этих свойств может обладать произведение вектора на число. Его выполняют все учащиеся, следовательно, нужно, чтобы и контролировался он у. При этом очень важно проговаривание учащимися изучаемого материала. Осуществить эти рекомендации психологов в условиях классно-урочной формы организации обучения без средств обучения невозможно, поэтому мы и предлагаем использовать рабочую тетрадь.

Разработанные в исследовании рабочие тетради реализуют идею создания этого средства обучения, предложенную М. В них дается не только задание и место для решения, но и само подробное решение с опорой на изученную теорию, но при этом ключевые слова пропущены. Талызиной доказано, что заполнение пропусков невозможно без проговаривания текста. Тем самым организуется необходимое для полноценного усвоения речевое оперирование с материалом. Например, доказательство переместительного закона сложения векторов стало проще благодаря тому, что предлагаемое нами доказательство не требует рассмотрения частых случаев.

При доказательстве сочетательного закона сложения векторов и теоремы о скалярном произведении векторов в координатах не использовался чертеж. При этом были использованы методические находки, выявленные в ходе анализа литературы исследования В.

Это позволило сделать понятным для учеников, что предлагаемые доказательства годятся для любых векторов. Как было выяснено в процессе анализа литературы, традиционное доказательство сочетательного закона сложения векторов не может сделать понятным для учеников, почему рассуждения, выполненные с использованием неколлинеарных векторов верны и для случая, когда векторы коллинеарны тем более что при доказательстве переместительного закона сложения векторов утверждалось, что нужно рассматривать частные случаи.

В исследовании предложено следующее доказательство. Изменение в доказательстве ряда теорем заключалось в том, что удалось обеспечить активное участие учеников в поиске доказательств. Например, разворачивание условия и заключения теоремы о координатах суммы векторов позволяет не только лучше усвоить эту теорему, но и научить учащихся способам работы при решении задач и доказательстве теорем.

Осталось выполнить последний шаг, показать, что из условия действительно следует то выражение, из которого в свою очередь следует истинное заключение. Такое доказательство способствует обучению поиску доказательства. Действительно, первый шаг поиска доказательств, как показано в исследования М. Воловича, заключается в разворачивании условия.